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Then we have these equations:

sin φ = m \cdotsin φ'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1)

⁠

du + mdv =0

(see last Chapter)

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(2)

⁠

q 2 = u 2 + r 2 +2 ur cos φ

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(3)

⁠

t 2 = v 2 + r 2 -2 vr cos φ'

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(4)

and the following, derived by differentiation,

from	(1)	$dφ / mdφ' = cos φ' / cos φ$ ,
	(3)	$0 = (u + r cos φ) du - ur sin φ d φ$ ,
	(4)	$0 = (v - r cos φ') dv + vr sin φ' d φ'$ ,

that is, $u$	$= u + r cos φ / r sin φ du / dφ$ ,
$v$	$= v - r cos φ' / r sin φ' \cdot - mdv / mdφ'$

Dividing the latter of these by the former, and putting $1$ for $- mdv / du$ and $cos φ' / cos φ$ for $dφ / mdφ'$ , we obtain

$v / u =$	$v - r cos φ' / u + r cos φ \cdot sin φ / sin φ' \cdot cos φ' / cos φ$ ;
$∴ v =$	$ur cos φ' \cdottan φ / u tan φ -(u + r cos φ)tan φ'$ .

Particular cases.

(1) When

u

is infinite, or the incident rays are parallel

$v = r cos φ' \cdottan φ / tan φ -tan φ' = r cos φ' 2 \cdotsin φ / sin(φ - φ')$ .

This is easily constructed:

Draw $Em$ (Fig. 106.) perpendicular to $Rq$ , $mn$ to $ER$ ; $nq$ parallel to $QR$ , determines the point $q$ .

It is easy to see that by this construction we have

$Rn = RE \cdot(cos ERq) 2 = r cos φ' 2$ ,

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